Sobre la secuencia de orden máximo
En esta sección lo que vamos a estudiar es que elemento del grupo del Cubo
de Rubik tiene mayor orden. Para el que no lo sepa comento que el orden de
una secuencia del Cubo de Rubik es el número de veces que debemos aplicar
dicha secuencia para que el cubo vuelva a su posición original. Por ejemplo
la secuencia A tiene orden 4.
No es difícil descubrir cuál debe ser el orden máximo. Por una parte tenemos
que pensar que la secuencia va a ser en realidad una permutación de aristas,
una permutación de vértices y giros de arístas y vértices. La suma de las
longitudes de los ciclos de aristas debe de ser 12 y la suma de los ciclos
de las longitudes de los vértices debe de ser 8. El orden teniendo en cuenta
sólo estas permutaciones sería el mínimo común múltiplo de las longitudes
de los ciclos. Por ejemplo podríamos tener un ciclo de aristas de longitud 7 y
otro de longitud 5 y dos ciclos de longitud 4 de vértices. El orden de la
secuencia sería al menos 4*5*7 = 140. También tenemos que tener en cuenta
que la paridad de la permutación de aristas y vértices debe de ser la misma (ver demostración
sobre el número de combinaciones posibles del Cubo de Rubik).
Si vemos los finitos casos veremos que el mínimo común múltiplo será máximo
cuando tengamos un 7-ciclo y un 2-ciclo de aristas y un 5-ciclo y 3-ciclo de
vértices. Dos de las otras tres aristas deben de formar un dos ciclo y la otra debe de estar fija. Alguien podría
pensar que sería mejor reemplazar los dos 2-ciclos de aristas por un 4-ciclo de aristas pero esto no sería posible
ya que entonces la permutación de vértices no tendría la misma paridad que la de aristas.
De esta forma
el mínimo común múltiplo sería 2*3*5*7 = 210. Además debemos de tener en cuenta
que los vértices y las aristas pueden haber girado al realizar la secuencia 210
veces. Si algún vértice y alguna arista se tuerce obtendríamos que el orden de la
secuencia sería 210*2*3 = 1260 y además dicho orden no se podría superar. Para
conseguir que la secuencia cumpla la última condición basta con que el 2-ciclo de
aristas tuerza alguna arista y lo mismo con el 4-ciclo de vértices.
No es difícil conseguir una secuencia así una vez que ya se sabe resolver el Cubo
de Rubik.
Una secuencia de orden maximal es:
Se puede obervar que ciertamente tenemos dos 2-ciclos de aristas, un 7-ciclo de aristas, un 3-ciclo
de vértices y un 5-ciclo de vértices. También se puede observar que algún pico y alguna arista están
girados (para el concepto de girados una vez desordenado el cubo ver la demostración del número de
combinaciones posibles del Cubo).
Si no te fias del razonamiento y quieres comprobar que ciertamente este es el orden pulsa aquí.
(esta página puede tardar algo en cargar). Aparecerán varias animaciones que te explicarán que esto es cierto.
Para conseguir la combinación de arriba también podemos aplicar la secuencia D2 B' F2 B' F2 D' F D A I D A T' A2 T' D2 T' F A que es más corta.