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El Cubo de N x N x N con variantes
Lo que vamos a ver aquí aparece en un artículo de J. A. Eidswick que
apareció en "March 1986 Math Monthly". En este artículo, Eidswick hace
entre otras cosas un análisis de los cubos de tres dimensiones. El artículo muestra que al igual
que pasa con el cubo de 3x3x3, las únicas restricciones que nos van a aparecer
en un cubo de dimensión NxNxN son por una parte la de la paridad de los picos y aristas (el orden
de la permutación de las aristas centrales debe ser el mismo que el de los picos) cosa que es obvia
como en el caso 3x3x3 y por otra parte la orientación de las esquinas y aristas (podemos orientar
todas las esquinas como queramos salvo una y lo mismo ocurre con las aristas centrales y las aristas no centrales
no podemos orientarlas). Por otra parte lo que hace también es estudiar el caso de que dentro del cubo de
NxNxN sobre el que estamos trabajando haya uno dentro de (N-2)x(N-2)x(N-2).
Como suplemento del artículo hay una fórmula con el número de combinaciones
posibles de un cubo de dimensión NxNxN considerando todas las variantes posibles,
es decir, que tenga o no un cubo de dimensión menor dentro, que la orientación
de los cuadrados de cada cara sea importante o no (es decir considerar el supergrupo)
y que para N>3 cuente o no el orden de los cuadrados del mismo color.
Vamos a denotar entonces esto como G[t](N), donde N es el tamaņo y t es un subconjunto
de {s,m,i} que indican:
| s | Para N impar indica que estamos trabajando en el supergrupo, es decir,
debemos de tener en cuenta la orientación de la cara del centro (en caso de no
aparecer s se sobreentiende que no estamos en el supergrupo).
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| m | Para N > 3 indica que las piecas centrales del mismo color están marcadas y por lo
tanto se tiene en cuenta la permutación que haya entre ellas.
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| i | Para N > 3 indica que estamos trabajando el el invisible grupo teórico, es decir, que
hay que resolver el grupo exterior como el interior simultaneamente. Se supone que en
este caso, la aparición de los parámentros s y m afectan por igual a ambos cubos.
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La fórmula finalmente es:
| | | 2^A (8!/2 3^7)^B (12!/2 2^11)^C (4^6/2)^D (24!/2)^E
| | G[t](N) | = | -----------------------------------------------------------
| | | | 24^F (24^6/2)^G
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donde A, B, C, D, E, F y G son parámetros que dependen de t y de la paridad de N. Estos parámetros vienen dados por la siguiente
tabla:
| | Parámetros | | t | N impar | N par
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| Paridad | A | = | | (N-1)/2 | N/2
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| Esquinas | B | = | i | (N-1)/2 | N/2
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| | | -i | 1 | 1
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| Aristas centrales | C | =
| i | (N-1)/2 | 0
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| | | | -i | 1 | 0
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| Caras centrales | D | = | -s | 0 | 0
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| | | s,i | (N-1)/2 | 0
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| | | s,-i | 1 | 0
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| Otros cubos | E | = | i | (N+4)(N-1)(N-3)/24
| N(N^2-4)/24
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| | | -i | (N+1)(N-3)/4 | N(N-2)/4
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| Todos los cubos | F | = | | 0 | 1
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| Color | G | = | m
| 0 | 0
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| | | -m,i | (N^2-1)(N-3)/24
| N(N-1)(N-2)/24
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| | | -m,-i | (N-1)(N-3)/4
| (N-2)^2/4
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Con esta fórmula obtenemos las siguientes aproximaciones:
Caso no supergrupo
| N | {} | {m} | {i} | {m,i}
| | 2 | 3.674e6 | 3.674e6 | 3.674e6 | 3.674e6
| | 3 | 4.325e19 | 4.325e19 | 4.325e19 | 4.325e19
| | 4 | 7.401e45 | 7.072e53 | 3.263e53 | 3.118e61
| | 5 | 2.829e74 | 2.583e90 | 6.117e93 | 5.585e109
| | 6 | 1.572e116 | 1.310e148 | 3.077e170 | 2.451e210
| | 7 | 1.950e160 | 1.484e208 | 2.982e253 | 2.072e317
| | 8 | 3.517e217 | 2.335e289 | 3.247e388 | 1.717e500
| | 9 | 1.417e277 | 8.208e372 | 5.283e529 | 2.126e689
| | 10 | 8.298e349 | 4.007e477 | 4.041e738 | 1.032e978
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Caso supergrupo
| N | {s} | {s,m} | {s,i} | {s,m,i}
| | 3 | 8.858e22 | 8.858e22 | 8.858e22 | 8.858e22
| | 5 | 5.793e77 | 5.289e93 | 2.566e100 | 2.343e116
| | 7 | 3.994e163 | 3.039e211 | 2.562e263 | 1.780e327
| | 9 | 2.902e280 | 1.681e376 | 9.293e542 | 3.740e702
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Principal
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