El problema no está resuelto, al menos a fecha de escribir yo esto (al menos que yo sepa). El problema que se plantea es el siguiente, ¿cuál es el número mínimo de movimientos necesario para resolver el Cubo en cualquier situación? Que yo sepa todavía no se conoce la respuesta aunque parece ser que son necesarios 20 movimientos si consideramos los cuartos de giro y medios giros de las seis caras y 24 en el caso de considerar sólo los cuartos de giro. Sin embargo, no se puede asegurar que sea así. Este problema se podrá resolver cuando los ordenadores sean suficientemente potentes. En esta sección, lo que vamos a hacer es dar unas cotas a estos números tanto en el caso de considerar o no los medios giros y considerar o no el caso del supergrupo (es decir, con dibujos orientables).

Creo que se ha conseguido demostrar que contando cuartos de giro y medios giros, siempre es posible resolver el cubo en 29 movimientos (y en la práctica parece que 20).

La idea es la siguiente, con 0 giros obtenemos una combinación, con 1 cuarto de giro podemos obtener 6*2=12 combinaciones nuevas, con un nuevo cuarto de giro podemos obtener 114 combinaciones nuevas. Por lo tanto tenemos ya 1+12+114=127 combinaciones. Como el número de combinaciones posibles es de 43.252.003.274.489.856.000 está claro que con dos movimientos no se puede resolver en todos los casos. Este recuento se hace más complicado conforme aumentan el número de movimientos por lo que vamos a buscar una fórmula que nos de una cota superior. Con un ordenador se puede ir contando de uno en uno, pero debido a que las cifras que se manejan son muy grandes el tiempo que tardaría en hacerlo sería demasiado grande.

El problema que tenemos es que podemos llegar a la misma combinació de diversas formas y debemos procurar que en nuestro recuento se eliminen todos los casos repetidos posibles (no vamos a poder eliminarlos todos). Vamos a considerar que ocurre cuando realizamos varios giros sobre dos caras opuestas. Si realizamos un cuarto de giro, obtenemos 4 posibilidades, si realizamos 2 cuartos de giro obtenemos 6 posibilidades nuevas distintas a la posición inicial, con tres giros obtenemos 4 más y con cuatro sólo un nuevo caso. Si realizamos más giros sobre dos caras opuestas no obtendremos ya nuevos casos.

Sea P[n] el número de combinaciones que se puede realizar con n movimientos (cuartos de giro) y no se pueden realizar con menos movimientos. Si dividimos P[n] en cuatro sumandos, siendo el cuarto el número de combinaciones que se han obtenido habiendo hecho los cuatro últimos giros sobre el mismo par de caras opuestas (y que no se puede obtener de otra forma), el tercero lo mismo pero con tres giros, el segundo con dos y el primero con sólo uno (es decir el penúltimo giro debe de haber sido sobre otro par de caras opuestas), podemos obtener fácilmente la siguiente fórmula de recurrencia que nos da una cota superior de P[n]:
  P[0] = 1
  P[1] <= 4*3*P[0]
  P[2] <= 4*2*P[1] + 6*3*P[0]
  P[3] <= 4*2*P[2] + 6*2*P[1] + 4*3*P[0]
  P[4] <= 4*2*P[3] + 6*2*P[2] + 4*2*P[1] + 1*3*P[0]
  P[n] <= 4*2*P[n-1] + 6*2*P[n-2] + 4*2*P[n-3] + 1*2*P[n-4] para n > 4

Haciendo los cálculos anteriores obtenemos:

No conozco si posteriormente se han hecho más cálculos, supongo que sí, pero no creo que hayan conseguido ya obtener todas las combinaciones. Podríamos aplicar ahora la fórmula de recurrencia anterior y obtendríamos unas cotas menores, pero sin embargo, no varía mucho y no nos permite obtener acotaciones mejores del diámetro del cubo. Para el que piense que la fórmula de recurrencia es muy buena debería pensar que al aumentar n el error relativo crece bastante, de hecho, a partir de cierto n P[n] valdrá 0, es decir, en algún momento P[n] debe decrecer pero sin embargo la cota que tenemos siempre crece. De ahí que el diámetro podría ser bastante mayor que 21.

Si incluimos también los medios giros tenemos

De nuevo, si aplicamos la fórmula de recurrencia a estos resultados obtenemos cotas mejores pero tampoco sirve para mejorar nuestra cota del diámetro.