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El Cubo de N x N x N
En esta sección vamos a mostrar cual es la fórmula del Cubo de Rubik de tamaņo
N x N x N . Estamos considerando el caso simple (no el supergrupo)
aunque en otra sección podréis ver una fórmula más general que incluye también
el caso del supergrupo y otros casos. Vamos a comentar de donde sale la fórmula diciendo en cada momento lo
que podemos o no podemos hacer. Sin embargo no vamos a demostrarlo pero se haría
de forma análoga al caso de N=3, caso que hemos demostrado. Para empezar vamos
a comentar que las únicas restricciones que nos aparecen es que podemos girar todas
las esquinas del cubo como queramos salvo una y que lo mismo pasa con las aristas.
La otra restricción es la de la paridad de las permutaciones que vienen de la paridad
de los generadores del cubo. Si queréis ver la fórmula en un documento .pdf en el
queda mejor escrita pulsar en fórmula.
La fórmula es la siguiente (n>2):
| 8! 3^7 (12N-24 floor(N/2))! 2^{10(N-2 floor(N/2))} (24!)^{floor((N-2)/2)(1+ceil((N-2)/2))}
| | ---------------------------------------------------------------------------------------------
| | 24^{6 floor((N-2)/2)ceil((N-2)/2)} (24+46 floor(N/2)-23N)
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Donde floor(x) es el mayor entero menor que x y ceil(x)=floor(x)+1, por ejemplo,
floor(3.453)=3 y ceil(3.453)=4. Os recuerdo que la fórmula está también escrita en un documento pdf
en el que está mejor escrita. Si queréis verla en dicho documento pulsad aquí.
Con esta fórmula podemos calcular el número de permutaciones posibles del Cubo de NxNxN. Para ahorraros cálculos
a continuación os podéis bajar unos archivos en modo texto, en el primero hemos realizado el cálculo para los
100 primeros Cubos de Rubik y hemos incluido todas las cifras de los números. Salen número muy largos que hacen
que abierto dicho archivo con el Microsft Word ocupe unas 276 páginas. El segundo archivo incluye
el número de permutaciones para los 300 primeros Cubos de Rubik pero escribiendo el resultado en notación científica
lo que hace que el archivo no sea tan largo.
| Permutaciones de los 100 primeros
| download
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| Permutaciones de los 300 primeros en notación cientifica
| download
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Vamos a empezar a explicar de donde viene esta fórmula. Para empezar debemos recordar que en el Cubo
de Rubik de 3x3x3 podemos considerar que los centros de cada cara permanecen fijos. Esto
de hecho se puede hacer con cada Cubo en el que N sea impar. Si embargo, si N es par no podemos fijar
ninguna pieza. Esto hace que algunas posiciones del cubo que en un principio son distintas al final
girando el cubo descubrimos que son iguales. De hecho girando el cubo una misma posición se puede poner
de 24 formas distintas. Esto hace que el el caso de N par debamos dividir entre 24 y en el caso impar esto
no influye. Este hecho aparece en la expresión del denominador dada por (24+46 floor(N/2)-23N) que es igual a 24
si N es par e igual a 1 si N es impar.
Como vimos en el caso de N=3, el número de permutaciones de las esquinas es 8! y el
número de giros posibles es 3^7. De aquí que en el numerador aparezca 8! 3^7.
El conjunto de las aristas no centrales (que son floor((N-2)/2) grupos de 24, es decir
todas en el caso par y todas menos 12 en el impar) se pueden permutar de cualquier modo.
Esto nos da (24!)^(floor((N-2)/2)). Por otra parte, el conjunto de las caras centrales
no centradas (es decir, todas en el caso par y todas salvo el centro de cada una de las
6 caras grandes en el impar) también se reparten en grupos de 24, en el caso par hay
((N-2)/2)^2 grupos y en el impar hay ((N-2)/2)^2-1/4 grupos, lo que podemos indicar como
que hay floor((N-2)/2)*ceil((N-2)/2) grupos en ambos casos. Esto nos dará debido a que en
cada grupo las caras se pueden permutar de cualquier forma, el factor
(24!)^(floor((N-2)/2)*ceiling((N-2)/2)). Si multiplicamos los dos últimos factores
obtenidos conseguiremos la expresión 24^(...) que aparece en el numerador.
La expresión del numerador (12N-24floor(N/2))!=1 si N es par y 12! si es impar. Este número corresponde
a permutar las aristas centrales (que son 12 en el caso impar y 0 en el par). La orientación
de estas aristas nos dará por lo tanto un factor de 2^11 en el caso impar y 1 en el par.
Pero en el caso impar deberemos dividir entre 2 ya que la paridad de los vértices y las
aristas centrales debe ser la misma, por lo que el factor en el caso impar se reduce a
2^10. Esto nos da el factor 2^(10(N-2 floor(N/2))) que valo 2^10 en el caso impar y 1 en
el par.
Por último nos queda la expresión del denominador 24^{6*floor((N-2)/2)*ceiling((N-2)/2)}.
Esta expresión viene de que de los grupos de 24 centros no centrales, estos están
distribuidos en 6 colores de modo que cuando permutamos los del mismo color en realidad
no hacemos nada y estos casos hay que eliminarlos. Hay que notar también que esto último
no ocurre con los lados no centrales ya que si permutamos los del mismo color cambian obligatoriamente
de orientación con lo que no estamos repitiendo casos.
Os recuerdo que si queréis ver los resultados para diversos cubos arriba tenéis un par de archivos.
En el documento .pdf en el que se incluye la fórmula también viene el valor para los primeros 10 casos.
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